Родился 3 февраля 1746 года в небогатой купеческой семье. Отец — Андрей Ильич Баранов, мать — Анна Григорьевна Баранова. Кроме Александра, в семье было ещё 3 детей: сын Петр, дочери Евдокия и Васса.
До 1790 года занимался торгово-промышленными операциями в Москве, Петербурге и Сибири; в 1787 году стал почетным членом Вольного экономического общества. Переехав в 1790 году в Иркутск, приобрел два завода, в том числе стекольный, организовал несколько промысловых экспедиций на северо-восток Азии. В том же году Баранов разорился и принял предложение Г. И. Шелихова управлять его торговой компанией (в 1799 году реорганизованной в Российско-Американскую компанию).
В 1802 году получил чин коллежского советника (соответствует званию полковника), что давало право на потомственное дворянство. В 1806 году был награждён орденом святой Анны 2 степени, за отражение набегов индейцев колошей. В связи с болезнью в 1818 году оставил должность правителя и умер в дороге близ острова Ява 16 апреля 1819 года.
За 28 лет работы на посту Главного правителя Русской Америки, кроме строительства укрепленных поселков, А. А. Баранов основал верфь, положив начало местному судостроению, построил медеплавильный завод и школу, организовал добычу угля, расширил промысел каланов. Сам себя он называл «Писарро российский», сравнивая с Франсиско Писарро, испанским конкистадором.
Исследовал территории, примыкавшие к Тихоокеанскому побережью Северо-Западной Америки, установил торговые связи с Калифорнией, Гавайскими островами, Китаем. По распоряжению Баранова в 1812 году основан Форт-Росс в Калифорнии. Также основал большинство русских поселений на Аляске, в том числе Новоархангельск (с 1867 года — Ситка) и перенёс туда центр Русской Америки. За «…усердие его к заведению, утверждению и расширению в Америке российской торговли» в 1799 году император Павел I Петрович наградил Баранова именной медалью.
Благодаря его энергии и административным способностям, значительно расширились торговые связи русских поселений в Северной Америке с Калифорнией, Гавайскими островами и Китаем; были созданы новые поселения, снаряжён ряд экспедиций для обследования районов Тихоокеанского побережья, положено начало кораблестроению, медеплавильному производству и добыче угля в Русской Америке, организована школа на Аляске и т. п. Баранов участвовал в обследовании и описании Чугачского залива, прилегающих островов и других районов.
