В 1715 закончил Московскую навигационную школу. В 1721 закончил Петербургскую морскую академию, получив звание унтер-лейтенанта и назначение на Балтийский флот. В 1722 возвращён в Морскую академию в качестве преподавателя навигации.
В 1725 произведён в лейтенанты и направлен помощником Витуса Беринга в Первой Камчатской экспедиции (1725—1730). На пути следования определил 28 астрономических пунктов, что позволило впервые выявить истинную широтную протяжённость Сибири. На боте «Святой Гавриил» совершил плавание от устья реки Камчатки на север для поиска пролива между Азией и Америкой.
В 1728 получил чин капитан-лейтенанта. В период 1733—1741 — участник и один из руководителей Второй Камчатской экспедиции на пакетботах «Святой Пётр» и «Святой Павел». В 1740 экспедиция основала на полуострове Камчатка Петропавловскую гавань, увековечив названия своих кораблей. В плавании 1741 года суда Беринга и Чирикова в тумане потеряли друг друга и далее действовали самостоятельно. 15 июля 1741 года А. И. Чириков на пакетботе «Святой Павел» достиг северо-западного побережья Америки (это было второе посещение русским судном американского берега после М. С. Гвоздева и И. Федорова на боте «Св. Гавриил» 21 августа 1732 г.), а затем прошёл вдоль её берегов на север и на обратном пути открыл ряд островов Алеутской гряды (Умнак, Адах, Агатту, Атту), нанеся их на карту.
В 1742 участвовал в поисках пакетбота «Святой Пётр». В дальнейшем участвовал в составлении карты русских открытий в Тихом океане по итогам Камчатских экспедиций. С 1746 директор Морской академии в Санкт-Петербурге. 7 сентября 1747 — Алексею Чирикову был пожалован чин капитан-командора с переводом в Москву, где он руководил Московской конторой Адмиралтейств-коллегии, но вскоре скончался от туберкулёза и последствий цинги.
Был женат и имел двоих сыновей и трёх дочерей.
